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Der Dreisatz lügt!

Zwei Dinge der Mathematik bleiben wahrscheinlich den meisten Schülern ihr Leben lang im Gedächtnis haften: Der Satz des Pythagoras (meistens in der Form a2 + b2 = c2) und der Dreisatz - zumindest für die Prozentrechnung.

Zum Dreisatz eine bekannte Aufgabe, wie man sie in sehr vielen Büchern finden kann:

Aufgabe:

2 kg Äpfel kosten DM 5,-. Wie viel würden 3 kg Äpfel kosten?

Der geneigte Leser wird sofort auf die Lösung DM 7,50 kommen. Also keine Probleme? Betrachten wir daher die nächste Aufgabe:

Aufgabe:

Zum Ausschachten einer Grube benötigen zwei Bauarbeiter vier Stunden. Wie lange brauchen fünf Arbeiter für diese Arbeit?

Zunächst ist die Antwort verführerisch: 2,5 Stunden würde dies dauern. Wer an dieser Stelle noch nicht hellhörig wurde, für den sei die Aufgabe noch einmal anders gestellt:

Aufgabe:

Zum Ausschachten einer Grube benötigen zwei Bauarbeiter vier Stunden. Wie viele Arbeiter sind notwendig, damit die Arbeit in einer Stunde erledigt werden kann?

Spätestens jetzt erkennt man den Haken der Aufgabe: Der Dreisatz behauptet, dass wir acht Arbeiter benötigen, um die Grube in einer Stunde zu graben. Was hierbei aber völlig außer Acht bleibt, ist die Frage, ob acht Arbeiter überhaupt gemeinsam an einer Grube arbeiten können, ohne dass sie sich gegenseitig stören. Denn im Falle einer Störung nimmt ihre Arbeitsleistung ab, sodass die Forderung nach einer Stunde Arbeitszeit nicht mehr zu erfüllen ist. In diesem Fall kann es also sein, dass acht Arbeiter vielleicht sogar zwei oder drei Stunden brauchen; die Anzahl der Arbeiter kann die Dauer der Arbeit nur unwesentlich senken. Erkennen könnte man dies mit Hilfe der Einführung einer Nebenbedingung: Angenommen, die Grube hat eine Fläche von vier Quadratmetern und ein Arbeiter benötigt zum Arbeiten einen Quadratmeter Platz ("Schwenkbereich"). Diese idealisierte Annahme hilft bei einer realistischen Lösung des Problems etwas weiter, weiß man nun, dass mehr als vier Arbeiter nicht gleichzeitig an der Grube arbeiten können. Eine erste Abschätzung ergibt also: unter zwei Stunden ist diese Arbeit ohne weitere Hilfsmittel gar nicht zu erledigen.

Was ist aber so dramatisch an dieser Aufgabe? Schließlich kann man einwenden, dass die etwas unrealistische Schulbuchaufgabe keine großen Auswirkungen auf das wirkliche Leben haben kann. Aber bereits zu Beginn wurde gesagt, dass gerade der Dreisatz den meisten Menschen im Kopf hängen bleibt. Die obigen Aufgaben wird praktisch jeder Erwachsene, egal welcher Schulbildung, lösen können.

Das Problem, das hierbei viel zu sehr vernachlässigt wird, ist die Nichtlinearität mancher Aufgabenstellungen. Eine Aufgabe zur Bestimmung von Preisen ist selbstverständlich linear, aber eine Bestimmung von Arbeitszeiten ist in der Regel eine nichtlineare Problemstellung, die nicht ohne weiteres mit Hilfe des Dreisatzes gelöst werden darf.

Leider ist aber häufig eine nichtlineare Behandlung dieser Probleme auf dem Wissensstand, auf dem der Dreisatz gelehrt wird, nicht möglich. Daher muss eine andere Behandlungsweise für das Problem gefunden werden, ohne dass man das Problem mit nichtlinearen Methoden behandeln muss.

Dazu wird hier der Begriff des "Dreisatzes mit Nebenbedingungen" eingeführt, der es ermöglicht, obige Aufgaben korrekt, d.h. realistisch zu lösen. Dies kann eben auch bedeuten, dass es keine Lösung eines Dreisatzproblems gibt - wie im obigen Fall, als die Grube nicht in einer Stunde ausgehoben werden konnte.

Dazu soll die Aufgabe neu unter Hinzunahme einer Nebenbedingung gestellt werden:

Aufgabe:

Zum Ausschachten einer Grube benötigen zwei Bauarbeiter vier Stunden. Wie viele Arbeiter sind notwendig, damit die Arbeit in zwei Stunden durchgeführt werden kann? Dazu ist anzunehmen, dass ein Arbeiter einen Platzbedarf von einem Quadratmeter habe und die Oberfläche der Grube sechs Quadratmeter betrage.

Die Lösung stellt sich wie folgt dar:

2 Bauarbeiter ~ 4 Stunden
4 Bauarbeiter ~ 2 Stunden

Nun ist zu prüfen, ob die gestellte Nebenbedingung erfüllt ist:

4 * 1 m2 = 4 m2 <= 6 m2

Tatsächlich wäre diese Aufgabenstellung wesentlich realistischer als zuvor, da man nun wirklich erst einmal geprüft hat, ob das Objekt überhaupt von vier Arbeitern bearbeitet werden kann.

Noch interessanter ist die Frage, was eigentlich die minimale Zeit für die Lösung unseres Problems ist. Dies erhält man ebenso schnell: Es ist offensichtlich, dass maximal sechs Arbeiter gleichzeitig arbeiten können. Diese würden die Arbeit theoretisch in folgender Minimalzeit erledigen:

2 Bauarbeiter ~ 4 Stunden
6 Bauarbeiter ~ 1,33 Stunden

Was mit diesen einfachen Problemen aufgezeigt werden soll, ist das häufig nicht vorhandene Verständnis für nichtlineare Effekte. Falls der Leser nicht von den negativen Auswirkungen des fehlenden Verständnisses überzeugt ist, so setze man in den obigen Aufgaben einfach Wochen statt Stunden und nehme an, dass mit Hilfe der Lösung für einen Kunden ein Angebot erstellt werden soll. Ein Angebot, dass die Arbeit in einer Woche zu erledigen ist, wäre (ohne weitere Hilfsmittel) schon zu Beginn zum Scheitern verurteilt.

Falls der eine oder andere Leser bezweifelt, dass derartige Fehler in der Realität passieren, der sei gewarnt - dies ist leider allzu häufig die Realität, gerade in kleinen Betrieben und Firmen ist die Einstellung "da setze ich halt mehr Leute dran" sehr beliebt. Wie man aber gesehen hat, nicht immer von Erfolg gekrönt.

Derartige Problemstellungen lassen sich vor allem dort finden, wo es um den Einsatz von Personen zur Bearbeitung bestimmter Dinge geht. Man kann leicht Beispiele finden, wie viele Personen zum Heben bestimmter Dinge benötigt werden oder mit welcher Geschwindigkeit eine Person arbeiten muss (Objekte pro Zeiteinheit). Alle diese Aufgaben unterliegen nichtlinearen Effekten und sollten nur unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen mit Hilfe des Dreisatzes gelöst werden.

Es sollte daher bei der Vermittlung des Dreisatzes immer wieder mal an den Zusammenhang zwischen theoretischer Rechnung und der Realität erinnert werden. Dazu soll zum Abschluss noch eine kleine Aufgabe dienen:

Aufgabe:

Zum Ausheben einer Grube benötigen zwei Arbeiter vier Stunden. Wie viele Arbeiter benötigt man, um die Arbeit in einer Sekunde zu erledigen?

;)

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